نوسان چه مشکلاتی ایجاد می کند؟

در پایان این بخش، شما قادر خواهید بود:

• نوسانات اجباری را تعریف کنید
• معادلات حرکت مرتبط با نوسانات اجباری را فهرست کنید
• مفهوم تشدید و تأثیر آن بر دامنه نوسانگر را توضیح دهید
• ویژگی های یک سیستم در نوسان رزونانس را فهرست کنید

گاهی جلوی یک پیانو بنشینید و یک نت کوتاه با صدای بلند در حالی که دمپرها از سیم های آن جدا شده است بخوانید ((شکل)). همان نت را به شما خواهد خواند - سیم ها که فرکانس هایی مشابه صدای شما دارند، در پاسخ به نیروهای ناشی از امواج صوتی که برای آنها فرستاده اید طنین انداز می شوند. این یک مثال خوب از این واقعیت است که اشیاء - در این مورد، سیم های پیانو - می توانند مجبور به نوسان شوند و به راحتی در فرکانس طبیعی خود نوسان کنند. در این بخش، به طور مختصر به بررسی اعمال نیروی محرکه دوره ای بر روی یک نوسان ساز هارمونیک ساده می پردازیم. نیروی محرکه انرژی را در فرکانس مشخصی به سیستم وارد می کند، نه لزوماً با فرکانس طبیعی سیستم. به یاد بیاورید که فرکانس طبیعی فرکانسی است که یک سیستم در صورت عدم وجود نیروی محرک و میرایی در آن نوسان می کند.

شکل 15. 28 شما می توانید به سادگی با تولید امواج صوتی از صدای خود، سیم های پیانو را به ارتعاش درآورید.

بسیاری از ما با اسباب بازی هایی بازی کرده ایم که شامل یک جسم است که روی یک نوار الاستیک پشتیبانی می شود، چیزی شبیه توپ پارویی که از انگشت آویزان است (شکل). تصور کنید انگشت در شکل انگشت شماست. ابتدا انگشت خود را ثابت نگه می دارید و توپ با مقدار کمی میرایی بالا و پایین می پرد. اگر انگشت خود را به آرامی بالا و پایین ببرید، توپ بدون پرش زیاد به خودی خود به دنبال خود می آید. همانطور که فرکانس حرکت انگشت خود را به بالا و پایین افزایش می دهید، توپ با نوسان با افزایش دامنه پاسخ می دهد. وقتی توپ را در فرکانس طبیعی خود می رانید، دامنه نوسانات توپ با هر نوسان تا زمانی که آن را می رانید افزایش می یابد. پدیده راندن یک سیستم با فرکانس برابر با فرکانس طبیعی آن را رزونانس می گویند. سیستمی که در فرکانس طبیعی خود رانده می شود گفته می شود که طنین انداز می شود. همانطور که فرکانس رانندگی به تدریج از فرکانس تشدید یا طبیعی بالاتر می رود، دامنه نوسانات کوچک تر می شود تا زمانی که نوسانات تقریباً ناپدید شوند و انگشت شما به سادگی به سمت بالا و پایین حرکت می کند و تاثیر کمی روی توپ دارد.

شکل 15. 29 توپ دست و پا زدن روی باند لاستیکی آن در پاسخ به انگشت پشتیبانی از آن حرکت می کند. اگر انگشت با فرکانس طبیعی [لاتکس] _ [/لاتکس] توپ روی باند لاستیکی حرکت کند ، یک رزونانس به دست می آید و دامنه نوسانات توپ به طرز چشمگیری افزایش می یابد. در فرکانس های رانندگی بالاتر و پایین ، انرژی به توپ کمتری به توپ منتقل می شود و با نوسانات دامنه پایین پاسخ می دهد.

Consider a simple experiment. Attach a mass m to a spring in a viscous fluid, similar to the apparatus discussed in the damped harmonic oscillator. This time, instead of fixing the free end of the spring, attach the free end to a disk that is driven by a variable-speed motor. The motor tus with an angular driving frequency of [latex] omega [/latex]. The rotating disk provides energy to the system by the work done by the driving force [latex] (_>= _ متن ( امگا t)) [/لاتکس]. دستگاه آزمایشی در (شکل) نشان داده شده است.

شکل 15. 30 حرکت هارمونیک اجباری و مرطوب تولید شده با رانندگی بهار و جرم با دیسک رانده شده توسط یک موتور با سرعت متغیر.

هنگامی که یک نوسان ساز با یک نیروی محرک تناوبی مجبور می شود ، ممکن است حرکت هرج و مرج به نظر برسد. حرکات نوسان ساز به عنوان گذرا شناخته می شود. پس از مرگ گذرا ، نوسان ساز به حالت پایدار می رسد ، جایی که حرکت دوره ای است. پس از مدتی ، راه حل حالت پایدار برای این معادله دیفرانسیل است

یک بار دیگر ، به عنوان یک تمرین باقی مانده است تا ثابت کند که این معادله یک راه حل است. گرفتن مشتقات بار اول و دوم X (t) و جایگزین کردن آنها در معادله نیرو نشان می دهد که [لاتکس] x (t) = a text ( omega t+ varphi) [/لاتکس] راه حل تا زمانی استدامنه برابر است با

جایی که [لاتکس]<omega>_=sqrt>[/لاتکس] فرکانس زاویه ای طبیعی سیستم جرم و بهار است. به یاد بیاورید که فرکانس زاویه ای و بنابراین فرکانس موتور قابل تنظیم است. با نگاهی به مخرج معادله برای دامنه ، هنگامی که فرکانس رانندگی بسیار کوچکتر یا بسیار بزرگتر از فرکانس طبیعی است ، مربع تفاوت دو فرکانس زاویه ای [لاتکس]<(<omega>^-<omega>_^)>^ [/latex] is positive and large, making the denominator large, and the result is a small amplitude for the oscillations of the mass. As the frequency of the driving force approaches the natural frequency of the system, the denominator becomes small and the amplitude of the oscillations becomes large. The maximum amplitude results when the frequency of the driving force equals the natural frequency of the system [latex] (_>=frac_>) [/لاتکس].

(شکل) نمودار دامنه یک نوسان ساز هارمونیک مرطوب را به عنوان تابعی از فرکانس نیروی تناوبی که آن را هدایت می کند ، نشان می دهد. هر یک از سه منحنی موجود در نمودار مقدار متفاوتی از میرایی را نشان می دهد. هر سه منحنی در نقطه ای که فرکانس نیروی محرک با فرکانس طبیعی نوسان ساز هارمونیک برابر است ، اوج می گیرند. بالاترین قله یا بیشترین پاسخ برای کمترین میزان میرایی است ، زیرا انرژی کمتری توسط نیروی میرایی حذف می شود. توجه داشته باشید که از آنجا که دامنه با کاهش میرایی رشد می کند ، این امر را به حد مجاز می رساند که هیچ میرایی [لاتکس] (B = 0) [/لاتکس] وجود ندارد ، دامنه بی نهایت می شود.

توجه داشته باشید که یک نیروی محرکه با دامنه کوچک می تواند یک پاسخ با دامنه بزرگ ایجاد کند. این پدیده به عنوان رزونانس شناخته می شود. یک نمونه مشترک از رزونانس ، والدینی است که یک کودک کوچک را به سمت نوسان سوق می دهد. هنگامی که کودک می خواهد بالاتر برود ، والدین به عقب حرکت نمی کنند و پس از آن ، شروع به کار می کنند ، به کودک می زنند و در یک بازه کوتاه یک نیروی بزرگ را اعمال می کنند. درعوض ، والدین فقط با فرکانس مناسب ، فشارهای کوچک را به کودک اعمال می کنند و دامنه نوسانات کودک افزایش می یابد.

شکل 15. 31 دامنه یک نوسان ساز هارمونیک به عنوان تابعی از فرکانس نیروی محرک. منحنی ها همان نوسان ساز را با همان فرکانس طبیعی اما با مقادیر مختلف میرایی نشان می دهند. رزونانس زمانی اتفاق می افتد که فرکانس رانندگی برابر با فرکانس طبیعی باشد و بیشترین پاسخ برای کمترین میزان میرایی است. باریکترین پاسخ نیز برای کمترین میرایی است.

It is interesting to note that the widths of the resonance curves shown in (Figure) depend on damping: the less the damping, the narrower the resonance. The consequence is that if you want a driven oscillator to resonate at a very specific frequency, you need as little damping as possible. For instance, a radio has a circuit that is used to choose a particular radio station. In this case, the forced damped oscillator consists of a resistor, capacitor, and inductor, which will be discussed later in this course. The circuit is “tuned” to pick a particular radio station. Here it is desirable to have the resonance curve be very narrow, to pick out the exact frequency of the radio station chosen. The narrowness of the graph, and the ability to pick out a certain frequency, is known as the quality of the system. The quality is defined as the spread of the angular frequency, or equivalently, the spread in the frequency, at half the maximum amplitude, divided by the natural frequency [latex] (Q=fracomega><<omega>_>) [/لاتکس] همانطور که در (شکل) نشان داده شده است. برای یک میرایی کوچک ، کیفیت تقریباً برابر با [لاتکس] q تقریبی frac [/لاتکس] است.

شکل 15. 32 کیفیت یک سیستم به عنوان گسترش در فرکانس ها در نیمی از دامنه تقسیم شده توسط فرکانس طبیعی تعریف می شود.

این ویژگی های نوسان سازهای هارمونیک رانده شده در مورد انواع مختلفی از سیستم ها اعمال می شود. به عنوان مثال ، تصویربرداری رزونانس مغناطیسی (MRI) یک ابزار تشخیصی پزشکی است که در آن هسته های اتمی (عمدتا هسته های هیدروژن یا پروتون) ساخته می شوند تا با امواج رادیویی ورودی (به ترتیب 100 مگاهرتز) طنین انداز شوند. در همه این موارد ، کارآیی انتقال انرژی از نیروی محرک به نوسان ساز در رزونانس بهترین است.(شکل) عکسی از یک مثال مشهور (پل تاکوما باریک) از اثرات مخرب یک نوسان هارمونیک رانده شده را نشان می دهد. پل هزاره در لندن به مدت کوتاهی به همین دلیل بسته شد در حالی که بازرسی ها انجام می شد. مشاهدات منجر به تغییراتی در پل قبل از بازگشایی می شود.

شکل 15. 33 در سال 1940 ، پل Tacoma Narrows در ایالت واشنگتن فرو ریخت. سیم های متغیر متغیر نسبتاً زیاد (بسیار کندتر از وزش باد طوفان) این پل را در فرکانس رزونانس خود به نوسانات سوق داد. میرایی هنگامی که کابل های پشتیبانی از بین رفتند و شروع به لغزش بر روی برجها کردند ، کاهش می یابد و این امکان را می دهد تا دامنه های فزاینده ای بیشتر شود تا ساختار شکست بخورد.

درک خود را بررسی کنید

یک ترفند شعبده بازی معروف این است که مجری یک نت را به سمت یک لیوان کریستالی می خواند تا زمانی که شیشه خرد شود. توضیح دهید که چرا این ترفند از نظر رزونانس و فرکانس طبیعی کار می کند.

نوازنده باید نتی بخواند که با فرکانس طبیعی لیوان مطابقت دارد. همانطور که موج صوتی به سمت شیشه هدایت می شود، شیشه با طنین در همان فرکانس موج صوتی پاسخ می دهد. با وارد شدن انرژی کافی به سیستم، شیشه شروع به ارتعاش می کند و در نهایت خرد می شود.

خلاصه

• فرکانس طبیعی یک سیستم، فرکانسی است که در آن سیستم در صورتی که تحت تأثیر نیروهای محرک یا میرایی قرار نگیرد، نوسان می کند.
• نیروی تناوبی که یک نوسانگر هارمونیک را در فرکانس طبیعی خود به حرکت در می آورد، تشدید ایجاد می کند. گفته می شود که این سیستم طنین انداز می شود.
• هر چه یک سیستم میرایی کمتری داشته باشد، دامنه نوسانات اجباری نزدیک به تشدید بیشتر است. هر چه یک سیستم میرایی بیشتری داشته باشد، واکنش گسترده تری به فرکانس های مختلف رانندگی دارد.

معادلات کلیدی

سوالات مفهومی

چرا به طور کلی به سربازان دستور داده می شود که از پل عبور کنند؟

به نظر شما آیا حرکت هارمونیکی در دنیای فیزیکی وجود دارد که حرکت هارمونیک میرایی نباشد؟سعی کنید لیستی از پنج مثال از حرکت هارمونیک بدون میرا و حرکت هارمونیک میرا تهیه کنید. تهیه کدام لیست راحت تر بود؟

تمام حرکات هارمونیک حرکت هارمونیک میرایی است، اما میرایی ممکن است ناچیز باشد. این به دلیل نیروهای اصطکاک و کشش است. به راحتی می توان به پنج مثال از حرکت میرایی دست یافت: (1) جرمی که بر روی فنر آویزان شده در نوسان است (در نهایت می ماند).(2) کمک فنر در ماشین (خوشبختانه آنها نیز برای استراحت می آیند).(3) آونگ یک ساعت پدربزرگ است (وزنه ها برای افزودن انرژی به نوسانات اضافه می شوند).(4) کودک روی تاب (در نهایت استراحت می کند مگر اینکه با هل دادن کودک انرژی اضافه شود).(5) سنگ مرمری که در یک کاسه غلت می زند (در نهایت استراحت می کند). در مورد حرکت بدون میرا، حتی جرم روی فنر در خلاء در نهایت به دلیل نیروهای داخلی در فنر متوقف می شود. میرایی ممکن است ناچیز باشد، اما نمی توان آن را حذف کرد.

برخی از مهندسان از صدا برای تشخیص مشکلات عملکرد موتور خودرو استفاده می کنند. گاهی اوقات قسمتی از موتور طراحی می شود که در فرکانس موتور طنین انداز می شود. نوسانات ناخواسته می تواند باعث ایجاد صدایی شود که راننده را تحریک می کند یا منجر به از کار افتادن زودهنگام قطعه می شود. در یک مورد، قسمتی قرار داشت که طول آن L از ماده ای با جرم M بود. برای اصلاح این مشکل چه کاری می توان انجام داد؟

چالش ها و مسائل

کمک فنرهای یک ماشین 1200 کیلوگرمی چقدر انرژی باید هدر دهند تا جهشی را که در ابتدا سرعت 0. 800 متر بر ثانیه در موقعیت تعادل دارد، خنثی کنند؟فرض کنید ماشین به حالت عمودی اولیه خود برگردد.

اگر خودرویی دارای سیستم تعلیق با نیروی ثابت [لاتکس] 5. 00,×,^, متن [/لاتکس] باشد، ضربه های خودرو چقدر انرژی باید حذف کنند تا نوسانی که با حداکثر جابه جایی 0. 0750 شروع می شود کاهش یابد. متر؟

الف) فنری که نیروی ثابت آن 40. 0 نیوتن بر متر است توسط جسمی با جرم 0. 500 کیلوگرم در حالتی که بی حرکت از فنر آویزان است، چقدر کشیده می شود؟(ب) کاهش انرژی پتانسیل گرانشی جسم 0. 500 کیلوگرمی را هنگام پایین آمدن از این فاصله محاسبه کنید. ج) بخشی از این انرژی گرانشی به چشمه می رود. انرژی ذخیره شده در فنر توسط این کشش را محاسبه کنید و آن را با انرژی پتانسیل گرانشی مقایسه کنید. توضیح دهید که بقیه انرژی ممکن است به کجا برود.

فرض کنید یک جسم 0. 750 کیلوگرمی روی سطح افقی دارید که به فنری متصل است که نیروی ثابت آن 150 نیوتن بر متر است. اصطکاک ساده بین جسم و سطح با ضریب اصطکاک ایستا [لاتکس] وجود دارد.<mu>_>= 0. 100 [/لاتکس].(الف) بهار تا چه حد می توان بدون جابجایی توده کشیده شد؟(ب) اگر جسم با دامنه دو برابر فاصله در قسمت (a) در نوسان قرار گیرد و ضریب جنبشی اصطکاک [لاتکس] است<mu>_>= 0. 0850 [/لاتکس] ، قبل از توقف در چه مسافتی طی می شود؟فرض کنید که از حداکثر دامنه شروع می شود.

مشکلات اضافی

فرض کنید شما یک شی را با جرم M به یک چشمه عمودی در ابتدا در حالت استراحت وصل کرده اید و بگذارید آن را بالا و پایین بکشید. شما شیء را از استراحت در طول استراحت اصلی بهار ، طول بهار در تعادل ، بدون جرم وصل می کنید. دامنه حرکت فاصله بین موقعیت تعادل چشمه بدون جرم وصل شده و موقعیت تعادل چشمه با جرم متصل است.(الف) نشان دهید که بهار در پایین ترین نقطه خود نیروی صعودی 2. 00 میلی گرم را بر روی جسم اعمال می کند.(ب) اگر بهار ثابت نیرو 10. 0 نانومتر در متر باشد ، به صورت افقی آویزان است ، و موقعیت انتهای آزاد بهار به عنوان [لاتکس] y = 0. 00 ، text [/لاتکس] مشخص می شود ، کجاستموقعیت تعادل جدید اگر یک شیء با جرم 0. 25 کیلوگرم از بهار آویزان باشد؟ج) اگر چشمه دارای ثابت نیرو 10. 0 متر بر متر و یک شیء 0. 25 کیلوگرم جرم است که همانطور که توضیح داده شده است ، در حال حرکت است ، دامنه نوسانات را پیدا کنید.(د) حداکثر سرعت را پیدا کنید.

غواصی در هیئت مدیره غواصی در حال انجام SHM است. جرم وی 55. 0 کیلوگرم و مدت زمان حرکت او 0. 800 ثانیه است. غواص بعدی مرد است که دوره نوسان هارمونیک ساده 1. 05 ثانیه است. اگر توده هیئت مدیره ناچیز باشد ، توده او چیست؟

فرض کنید یک تخته غواصی که هیچ کس روی آن وجود ندارد ، در یک SHM با فرکانس 4. 00 هرتز بالا و پایین نمی رود. هیئت مدیره دارای جرم مؤثر 10. 0 کیلوگرم است. فرکانس SHM یک غواص 75. 0 کیلوگرم روی صفحه چیست؟

دستگاهی که در شکل زیر مشاهده می شود ، نوزادان را در حالی که آنها را از سرگردانی باز می دارد ، سرگرم می کند. کودک در یک بند بهار معلق از یک قاب درب است.(الف) اگر بهار در حالی که از یک کودک 8. 0 کیلوگرم پشتیبانی می کند ، 0. 250 متر امتداد داشته باشد ، نیروی آن ثابت است؟(ب) زمان یک گزاف گویی کامل این کودک چقدر است؟ج) اگر دامنه گزاف گویی او 0. 200 متر باشد ، حداکثر سرعت کودک چقدر است؟

شکل 15. 34 (اعتبار: لیزا دونهرت)

یک جرم روی یک میز بدون اصطکاک و افقی قرار می گیرد. یک فنر [latex] (k=100, ext) [/latex]، که می تواند کشیده یا فشرده شود، روی میز قرار می گیرد. یک توده 5. 00 کیلوگرمی به یک سر فنر وصل شده است، سر دیگر آن به دیوار متصل می شود. موقعیت تعادل صفر مشخص شده است. دانش آموزی جرم را به [latex] x=4. 0 ext [/latex] منتقل می کند و آن را از حالت سکون خارج می کند. جرم در SHM نوسان می کند. الف) معادلات حرکت را تعیین کنید.(ب) موقعیت، سرعت و شتاب جرم را در زمان [لاتکس] t=3. 00, ext ext بیابید<.>[/لاتکس]

Find the ratio of the new/old periods of a pendulum if the pendulum were transported from Earth to the Moon, where the acceleration due to gravity is [latex] 1.63,>^>[/لاتکس].

At what rate will a pendulum clock run on the Moon, where the acceleration due to gravity is [latex] 1.63,>^>[/latex]، اگر زمان را به طور دقیق روی زمین نگه می دارد؟یعنی زمان (بر حسب ساعت) را پیدا کنید که عقربه ساعت طول می کشد تا یک دور روی ماه انجام شود.

اگر ساعت آونگ محور 5. 00 ثانیه در روز افزایش یابد، چه تغییر کسری در طول آونگ باید ایجاد شود تا بتواند زمان کامل را حفظ کند؟

طول باید 0. 0116٪ افزایش یابد.

یک شی 2. 00 کیلوگرمی در حالت استراحت، روی یک ریسمان به طول 1. 00 متر که به سقف متصل است آویزان است. یک جرم 100 گرمی با سرعت 20 متر بر ثانیه در جرم 2. 00 کیلوگرم شلیک می شود و جرم 100. 00 گرمی کاملاً الاستیک با جرم 2. 00 کیلوگرمی برخورد می کند. معادله ای برای حرکت جرم آویزان پس از برخورد بنویسید. فرض کنید مقاومت هوا ناچیز است.

یک شی 2. 00 کیلوگرمی در حالت استراحت، روی یک ریسمان به طول 1. 00 متر که به سقف متصل است آویزان است. یک جسم 100 گرمی با سرعت 20 متر بر ثانیه به جسم 2. 00 کیلوگرمی شلیک می شود و این دو جسم با هم برخورد می کنند و در یک برخورد کاملا غیر ارتجاعی به هم می چسبند. معادله ای برای حرکت سیستم بعد از برخورد بنویسید. فرض کنید مقاومت هوا ناچیز است.

فرض کنید آونگی که برای راندن ساعت پدربزرگ استفاده می شود، طول [لاتکس] _=1. 00، متن [/لاتکس] و جرم M در دمای [لاتکس] T=20. 00 ext ext ext دارد.<.>[/latex] می توان آن را به عنوان یک آونگ فیزیکی به عنوان میله ای که در اطراف یک انتها نوسان می کند، مدل سازی کرد. اگر دما به اندازه [لاتکس] 10 ext ext افزایش یابد دوره چند درصد تغییر می کند؟[/latex] فرض کنید طول میله به صورت خطی با دما تغییر می کند، جایی که [latex] L=_(1+alpha extT) [/latex] و میله از برنج [لاتکس] ساخته شده است (alpha =18×,^متن< ext>^).[/لاتکس]

یک بلوک 2. 00 کیلوگرمی روی یک میز بدون اصطکاک قرار دارد. یک فنر با ثابت فنر 100 نیوتن بر متر به دیوار و بلوک متصل می شود. بلوک دوم 0. 50 کیلوگرمی در بالای بلوک اول قرار می گیرد. بلوک 2. 00 کیلوگرمی به آرامی به موقعیت [لاتکس] x=+A [/لاتکس] کشیده می شود و از حالت سکون خارج می شود. ضریب اصطکاک بین دو بلوک 0. 45 است. الف) دوره نوسانات چقدر است؟(ب) بزرگترین دامنه حرکتی که به بلوک ها اجازه می دهد بدون لغزش بلوک 0. 50 کیلوگرمی نوسان کنند چیست؟

آ. 0. 99 ثانیه; ب0. 11 متر

مشکلات چالش

یک پل معلق با ثابت نیروی مؤثر [latex] 1. 00,×,^, ext [/latex] در نوسان است. الف) چه مقدار انرژی برای ایجاد نوسان با دامنه 0. 100 متر مورد نیاز است؟(ب) اگر سربازان از روی پل با آهنگی برابر با فرکانس طبیعی پل رژه بروند و در هر ثانیه [لاتکس] 1. 00,×,^, متن [/لاتکس] انرژی در هر ثانیه به آنها منتقل کنند، چقدر طول می کشد تا پل. نوسانات پل از دامنه 0. 100 متر به 0. 500 متر می رسد.

در نزدیکی بالای ساختمان مرکز سیتی گروپ در شهر نیویورک، جسمی با جرم [لاتکس] 4. 00,×,^, ext [/latex] روی فنرهایی وجود دارد که دارای ثابت نیروی قابل تنظیم هستند. عملکرد آن این است که نوسانات ناشی از باد ساختمان را با نوسان در همان فرکانسی که ساختمان در حال رانده شدن است، خنثی کند - نیروی محرکه به جسم منتقل می شود که به جای کل ساختمان نوسان می کند.(الف) فنرها چه نیروی مؤثری باید داشته باشند تا جسم را با دوره 2. 00 ثانیه نوسان کند؟ب) چه انرژی در فنرها برای جابجایی 2. 00 متر از حالت تعادل ذخیره می شود؟

بسته های هوا (حجم های کوچک هوا) در یک جو پایدار (جایی که دما با ارتفاع افزایش می یابد) می توانند به بالا و پایین نوسان کنند، به دلیل نیروی بازگردانی که توسط شناوری بسته هوا ایجاد می شود. فرکانس نوسانات معیاری برای سنجش پایداری جو است. با فرض اینکه می توان شتاب یک بسته هوایی را به صورت [latex] frac مدل کرد<<partial>^^<prime>><partial ^>=frac_>frac<partial ho (z)><partial z>^ <prime>[/لاتکس]، ثابت کنید که [لاتکس] ^<prime>=_<>^<prime>^^>>[/لاتکس] راه حلی است که N به عنوان فرکانس Brunt-Väisälä شناخته می شود. توجه داشته باشید که در یک جو پایدار، چگالی با ارتفاع کاهش می یابد و بسته به بالا و پایین نوسان می کند.

پتانسیل واندروالس [لاتکس] U(r)=_[ را در نظر بگیرید<(frac<_>)>^-2<(frac<_>)>^] [/latex]، برای مدل سازی تابع انرژی پتانسیل دو مولکول، که در آن حداقل پتانسیل در [لاتکس] r=_ [/latex] است استفاده می شود. نیرو را به عنوان تابعی از r پیدا کنید. یک جابجایی کوچک [لاتکس] r=_+^ را در نظر بگیرید<prime>[/لاتکس] و از قضیه binomial استفاده کنید:

برای نشان دادن اینکه این نیرو تقریباً نیروی قانونی هوک را انجام می دهد.

فرض کنید طول آونگ یک ساعت دقیقاً 1. 000 ٪ تغییر می کند ، دقیقاً ظهر یک روز. ساعت 24. 00 ساعت بعد چه ساعتی می خواند ، با فرض اینکه آونگ قبل از تغییر زمان کاملی داشته است؟توجه داشته باشید که دو پاسخ وجود دارد و محاسبه را به دقت چهار رقمی انجام می دهد.

(الف) چشمه های یک وانت مانند یک چشمه واحد با ثابت نیرو از [لاتکس] 1. 30 ، × ،^ ، متن [/لاتکس] عمل می کنند. با چه مقدار کامیون از حداکثر بار 1000 کیلوگرم افسرده می شود؟(ب) اگر کامیون وانت چهار چشمه یکسان داشته باشد ، ثابت نیروی هر یک چیست؟

واژه نامه

طنین نوسانات دامنه بزرگ در یک سیستم تولید شده توسط یک نیروی محرک دامنه کوچک ، که دارای فرکانس برابر با فرکانس طبیعی