پرتفوی بهینه بدون محدودیت در منابع

فرض کنید که یک مشکل تخصیص دارایی استاندارد حل شده و یک نمونه کارها بهینه به دست آمده است. بسته به مبلغ سرمایه گذاری شده نسبت به مرزهای بالا و پایین مورد نیاز ، هر دارایی در یکی از سه ایالت قرار خواهد گرفت. ما می توانیم این "پایین" ، "در" و "UP" را به شرح زیر اصطلاح دهیم:

از آنجا که نمونه کارها بهینه است ، باید اینگونه باشد که خدمات حاشیه ای همه "متغیر" یکسان است. اگر اینگونه نباشد ، می توان با استفاده از مجدد پول از یک متغیر به دیگری با یک ابزار حاشیه ای بالاتر ، ابزار را با استفاده از یک ابزار متغیر به دیگری بهبود بخشید. بدین ترتیب:

جایی که MUP ثابت است.

همچنین باید اینگونه باشد که ابزار حاشیه ای از هر متغیر کمتر یا مساوی با این مقدار است. اگر اینگونه نبود ، می توان مبلغ پول اختصاص داده شده به چنین متغیر را افزایش داد و مبلغ اختصاص یافته به یک متغیر را کاهش داد و از این طریق ابزار افزایش یافت. بدین ترتیب:

سرانجام ، ابزار حاشیه ای هر یک از متغیرهای متغیر باید بیشتر از یا مساوی از هر نوع متغیر باشد-می توان با کاهش مبلغ سرمایه گذاری شده در یک متغیر و افزایش مقدار سرمایه گذاری شده در یک متغیر ، افزایش یافت. وادبدین ترتیب:

ما هنگام استخراج روش خط بحرانی برای حل مشکلات تخصیص عمومی دارایی ، از پیامدهای همه این خصوصیات بهره برداری خواهیم کرد. با این حال ، اول ، ما روی مواردی تمرکز خواهیم کرد که در آن مرزهای بالا و پایین روی دارایی های دارایی وجود ندارد یا غایب یا غیر الزام آور هستند. در چنین مواردی می توان ترکیب بهینه نمونه کارها را به صورت تحلیلی تعیین کرد - یعنی بدون استفاده از روشهای تکراری مانند روشهای مورد نیاز در روشهای شیب و بحرانی.

ترکیب بهینه نمونه کارها بدون محدودیت در منابع

اگر هیچ محدودیتی در دارایی های نمونه کارها وجود نداشته باشد ، می توانید با تنظیم تمام مرزهای فوقانی به علاوه بی نهایت و تمام مرزهای پایین به منهای بی نهایت ، از روش شیب برای تعیین یک نمونه کارها بهینه استفاده کنید. البته در نمونه کارها بهینه در نتیجه ، همه متغیرها در آن قرار خواهند گرفت (یعنی بین مرزهای آنها). در نتیجه ، همه ابزار حاشیه ای یکسانی خواهند داشت. بنابراین می دانیم که برای نمونه کارها بهینه در چنین تنظیماتی:

اکنون ، فرمول محاسبه خدمات حاشیه ای مجموعه ای از دارایی ها را به یاد بیاورید:

ما به دنبال ترکیب نمونه کارها بهینه (x (1) ، x (2) ، x (n)) و ابزار حاشیه ای مشترک کلیه دارایی های موجود در آن نمونه کارها (MUP) هستیم. این امر مستلزم آن است که همه برنامه های حاشیه ای یکسان باشند ، یعنی:

برای دارایی 1،2. n.

توجه داشته باشید که هر یک از این معادلات خطی هستند و n معادله از این دست وجود دارد. اما یک نیاز دیگر برای یک مشکل پورتفولیو استاندارد وجود دارد:

در صورت عدم وجود بدهی و غیره، این شکل آشنا به خود می گیرد:

این یک معادله خطی در متغیرهای x است، بنابراین اکنون n+1 معادله خطی در n+1 مجهول داریم. به غیر از انحطاط، این را می توان با وارونگی ماتریس ساده و نمونه کارها بهینه به طور مستقیم حل کرد.

بیان مسئله با استفاده از یک معادله ماتریسی ساده مفید است. این کار کار ارائه راه حل را آسان می کند، توسعه را تسهیل می کند و مهمتر از همه، تعدادی از ویژگی های راه حل ها را برای کلاس های خاصی از مشکلات آشکار می کند.

برای شروع، الزامات دارایی i را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

ما tmup را به عنوان یک ناشناخته در نظر می گیریم، با توجه به اینکه mup همیشه می تواند پس از این واقعیت با تقسیم tmup بر rt محاسبه شود. در عمل، مقادیر tmup و mup ممکن است فقط مورد توجه گذرا باشند، زیرا هدف اولیه تعیین ترکیب سبد بهینه است.

توجه داشته باشید که همه مجهولات اکنون در سمت چپ هستند. فرض کنید y یک بردار عنصری باشد که همه متغیرها را شامل می شود. اینجا:

برای یادآوری این واقعیت که این بردار حاوی متغیرهای x ناشناخته است، نام آن را y می گذاریم، که یک حرف از x است، قراردادی که قدمت آن به کامپیوتر در فیلم "2001" برمی گردد که HAL نام داشت، یک حرف از IBM حذف شد. هر چند در جهت دیگر)..

حال، اجازه دهید D یک ماتریس عنصری باشد که شامل اطلاعات مربوط به کوواریانس های دارایی و محدودیتی است که مجموع دارایی ها برابر با یک ثابت است:

توجه داشته باشید که این ماتریس با مرز دو برابر کوواریانس با ضرایب از سمت چپ محدودیت تشکیل می شود، از این رو نام D (یک حرف بعد از C) است.

برای باقیمانده معادله به دو بردار دیگر نیاز داریم. اولی شامل سمت راست برای محدودیت سرمایه گذاری کامل در ردیف (n+1) و صفر در جاهای دیگر است. در خطر برخی سردرگمی های موقت، ما این را k می نامیم. در موردی که مجموع مقادیر x باید برابر با 1 باشد:

توجه داشته باشید که k شامل ثابت (بنابراین "k") از سمت راست محدودیت است.

آخرین بردار حاوی بازده مورد انتظار دارایی در n ردیف اول و صفر در ردیف n+1 است:

از آنجایی که این شامل بازده مورد انتظار (e) است، از حرف بعدی (f) برای نام آن استفاده می کنیم.

اکنون می توانیم یک معادله ماتریسی بنویسیم که شامل تمام شرایط مورد نیاز برای یک پورتفولیو بهینه است. هم ساده و هم شیک است:

البته ما به دنبال نمونه کارها هستیم که این معادله را نگه می دارد. از آنجا که بردار Y حاوی نمونه کارها است ، ما باید برای y حل کنیم. این به سادگی با ضرب هر دو طرف معادله توسط معکوس D. انجام می شود. نتیجه این است:

برای اهداف تفسیر (و در بعضی موارد ، اجرای) نوشتن این مطلب مفید است:

یک مثال سه دارایی

برای نشان دادن استفاده از فرمولها برای ترکیب بهینه نمونه کارها بدون مرزهای بالا و پایین ، ما به پرونده ساده سه دارایی ساده (پول نقد ، اوراق و سهام) که قبلاً استفاده می شد ، باز می گردیم. بازده واقعی ، خطرات و همبستگی های مورد انتظار:

ماتریس کواریانس مربوطه:

ما فرض می کنیم که سرمایه گذار دارای تحمل ریسک (RT) برابر با 25 است و نیاز دارد که مبلغ دارایی برابر با 1 باشد.

این ماتریس های زیر را نشان می دهد:

اکنون می توانیم اجزای محلول (MVP و Z) و راه حل (Y) را پیدا کنیم:

سه عنصر اول Y حاوی دارایی های بهینه نمونه کارها است. در این حالت بهترین ترکیب شامل 6. 71 ٪ پول نقد ، 60. 21 ٪ در اوراق قرضه و 33. 08 ٪ در سهام است. از آنجا که هر هلدینگ مثبت است ، این همچنین می تواند ترکیبی بهینه برای یک سرمایه گذار باشد که قادر به گرفتن موقعیت های کوتاه در دارایی ها نیست. با این حال ، این همیشه لازم نیست. به عنوان مثال ، یک سرمایه گذار با تحمل ریسک 50 را در نظر بگیرید. برای چنین سرمایه گذار:

در اینجا سرمایه گذاری بهینه شامل 124. 39 ٪ در اوراق قرضه ، 66. 11 ٪ در سهام و وام گرفتن (موقعیت نقدی منفی) مبلغی برابر با 90. 50 ٪ از ارزش اولیه به منظور تأمین منابع مالی در اوراق و سهام است.

ویژگی های پرتفوی بهینه بدون محدودیت در منابع

همانطور که نشان دادیم ، راه حل مسئله انتخاب نمونه کارها بدون محدودیت در دارایی ها می تواند به عنوان معادله ای شامل سه بردار (Y ، MVP ، Z) و یک ثابت (RT) نوشته شود:

ما اکنون به خواص بردارهای MVP و Z می رویم که در مورد دارایی های بهینه نمونه کارها به ما می گوید.

حداقل نمونه کارها واریانس

یک سرمایه گذار را در نظر بگیرید که مایل به به حداقل رساندن ریسک باشد ، مهم نیست که بازده مورد انتظار در این روند قربانی شود. چنین شخصی تحمل ریسک صفر خواهد داشت. نمونه کارها بهینه ، به نوبه خود ، توسط

بنابراین MVP حداقل نمونه کارها واریانس (از این رو نام آن) است.

در مثال ساده ما:

به راحتی می توان این واقعیت را تأیید کرد که این در واقع یک نمونه کارها است ، زیرا مجموع مقادیر X (عناصر 1 تا 3) برابر با 1. 0 است.

برای دیدن اینکه چرا MVP باید به این معنا یک نمونه کارها باشد ، مفید است که مشکلی را که برای آن یک راه حل است در نظر بگیرید. با فرمول مشکل اصلی شروع کنید:

که راه حل برای آن است:

اجزای ماتریس و بردارها را در این مورد به یاد بیاورید:

2*C (1،1)	2*C (1،2)	2*C (1،3)	1	X (1)	0
2*C (2،1)	2*C (2،2)	2*C (2،3)	1	*	X (2)	=	0
2*C (3،1)	2*C (3،2)	2*C (3،3)	1	X (3)	0
1	1	1	0	TMUP	1

ردیف آخر نیاز دارد:

از این رو راه حل باید یک نمونه کارها باشد ، یعنی مبلغ دارایی باید برابر باشد 1.

در این مثال ، نمونه کارها حداقل واریانس شامل وام گرفتن مبلغی برابر با 3. 96 ٪ از وجوه سرمایه گذار با صدور اوراق (کوتاه کردن) ، سپس سرمایه گذاری درآمدها به علاوه تمام وجوه اصلی سرمایه گذار در ترکیبی از پول نقد و مبلغ کوچک سهام است. نمونه کارها مناسب است:

و واریانس آن (VP):

ارائه انحراف استاندارد از:

توجه داشته باشید که این کمتر از انحراف استاندارد پول نقد است که برابر با 1. 0 است. این قدرت تنوع است.

در این مثال ، پول نقد بدون ریسک نیست ، زیرا بازده در شرایط واقعی (تنظیم تورم) است. اگر از بازده اسمی استفاده می شد ، پول نقد می توانست بدون ریسک تلقی شود (اگر دوره برگزاری و دوره سرمایه گذاری برای دارایی نقدی یکسان باشد). به عنوان مثال موردی را در نظر بگیرید که در آن واریانس پول نقد و کواریانس آن با هر دارایی دیگر صفر است. حفظ فرضیات اصلی برای خطرات و همبستگی اوراق قرضه و سهام:

جای تعجب نیست که اگر یک دارایی بی خطر وجود داشته باشد ، حداقل سبد واریانس منحصراً در آن سرمایه گذاری می شود.

مبادله بهینه

ما در کنار وکتور Z قرار می گیریم.

به یاد بیاورید که نمونه کارها بهینه برای یک سرمایه گذار با تحمل ریسک RT:

اکنون دو سرمایه گذار را در نظر بگیرید. یکی ، با تحمل ریسک صفر ، باید نمونه کارها Y0 را که توسط:

دیگری ، با تحمل ریسک 1. 0 ، باید نمونه کارها Y1 را که توسط:

تفاوت بین اوراق بهادار آنها در بردار موجود است:

بنابراین Z یک بردار از اختلافات بین دو پرتفوی است. بنابراین مجموع دارایی های دارایی برابر با صفر خواهد بود. در اصطلاحات قبلی ما ، این یک استراتژی سرمایه گذاری صفر است. از این رو نام (z).

در نسخه اصلی مثال سه دارایی:

بنابراین یک سرمایه گذار با تحمل ریسک 1. 0 باید 3. 89 ٪ کمتر از پول نقد ، 2. 57 ٪ بیشتر در اوراق قرضه و 1. 32 ٪ بیشتر در سهام نسبت به یک سرمایه گذار با همان مقدار پول داشته باشد اما به هیچ وجه تحمل ریسک ندارد. جای تعجب نیست که مجموع نسبت دارایی برابر با صفر است ، زیرا اگر y یک نمونه کارها باشد ، باید باشد.

از آنجا که نسبت دارایی در Z جمع به صفر است ، می توان دستور العمل مبادله را در نظر گرفت. یک واحد از مبادله (به عنوان مثال ، 1 دلار) خواستار پرداخت دارنده (1) مبلغ برابر با بازده 0. 0389 واحد (0. 0389 دلار) سرمایه گذاری شده به صورت نقدی و دریافت مبلغی برابر با مبلغ (2) بازده است. در 0. 0257 (0. 0257 دلار) در اوراق قرضه سرمایه گذاری کرده و (3) بازده 0. 0132 (0. 0132 دلار) در سهام سرمایه گذاری شده است.

البته Z فقط هیچ مبادله ای نیست. این مبادله بهینه است. یک سرمایه گذار با تحمل مثبت برای ریسک ، در واقع باید با حداقل سبد واریانس شروع شود ، سپس در مبادله بهینه موقعیت مناسبی را به خود اختصاص دهد. از نظر دلار ، موقعیت مبادله باید برابر با صندوق اولیه سرمایه گذار RT باشد ، زیرا:

بنابراین یک سرمایه گذار با تحمل ریسک 50 باید دو برابر بیشتر از یک موقعیت در مبادله بهینه Z باشد ، همانطور که باید یک سرمایه گذار با همان ثروت و تحمل ریسک 25 باشد.

برای رسیدن به نتیجه مطلوب ، در واقع در یک قرارداد مبادله ای قرار نگرفت. در بیشتر موارد ، سرمایه گذار به سادگی نمونه کارها بهینه را تعیین کرده و مستقیماً روی آن سرمایه گذاری می کند. با این حال ، تشخیص اینکه این معادل نتایج به دست آمده با شروع با MVP است و سپس ایجاد یک مبادله استاندارد در یک قدر مناسب ، در درک تفاوت های بین دارایی بهینه سرمایه گذاران مفید است.

دو جدایی صندوق

دستور العمل برای یک نمونه کارها بهینه به وضوح خطی است. به شکل بردار:

ردیف من از فرم خواهم بود:

برای اولین ردیف های N مربوط به موقعیت های دارایی ، به طوری

اکنون دو پرتفوی را در نظر بگیرید که هر یک برای تحمل ریسک معین بهینه است. بگذارید A نماینده کوچکتر از دو تحمل ریسک باشد و B بزرگتر باشد. سپس اوراق بهادار به ترتیب است:

فرض کنید که YA و YB نمایانگر پرتفوی ارائه شده توسط دو صندوق متقابل (به ترتیب MFA و MFB) هستند. چگونه ممکن است یک سرمایه گذار با تحمل ریسک برابر با RT از چنین بودجه ای بهینه استفاده کند؟پاسخ ساده است: نسبت به ثروت در صندوق A و نسبت 1- XA در صندوق B ، با استفاده از فرمول زیر برای محاسبه XA قرار دهید:

برای دیدن اینکه چرا این کار می کند ، توجه داشته باشید که:

اما با توجه به دستور العمل ما برای انتخاب XA:

بنابراین نمونه کارها دو صندوق در واقع نمونه کارها بهینه برای سرمایه گذار مورد نظر است.

مهم نیست که چه تعداد دارایی برای تشکیل دو صندوق متقابل استفاده می شود ، یک سرمایه گذار می تواند با تخصیص وجوه خود بین دو صندوق متقابل ، به یک نمونه کارها کاملاً بهینه دست یابد ، تا زمانی که هر یک از وجوه برای تحمل ریسک خاص بهینه باشد ودو بودجه برای تحمل ریسک های مختلف طراحی شده است.

به عنوان یک موضوع عملی ، البته ، اگر تحمل ریسک وی در خارج از محدوده تحت پوشش وجوه باشد ، باید یک سرمایه گذار در یکی از صندوق ها جایگاه کوتاهی کسب کند. به همین دلیل ، ممکن است استفاده از (1) صندوق طراحی شده برای سطح بسیار کمی از تحمل ریسک و (2) یکی که برای سطح بسیار زیادی از تحمل ریسک طراحی شده است ، مفید باشد.

اگر چندین صندوق متقابل در دسترس باشد ، یک سرمایه گذار می تواند با ترکیب هر دو صندوق به یک نمونه کارها بهینه دست یابد ، تا زمانی که هر یک برای سطح مختلف تحمل ریسک بهینه باشند و نسبت های سرمایه گذاری شده در وجوه به طور مناسب انتخاب می شوند (یعنی با استفاده از فرمول داده شدهدر بالا برای XA).

این نتیجه از اهمیت کافی برای لیاقت یک نام نسبتاً بزرگ برخوردار است. گاهی اوقات "قضیه جدایی توبین" نامیده می شود ، از زمان معرفی آن در توبین 1958 ، اما ما نتیجه حاضر را قضیه جدایی دو صندوق می نامیم تا آن را از نتایج پیچیده تری که در تنظیمات مختلف بوجود می آید ، متمایز کند. چرا نام؟زیرا در این شرایط می توان تصمیم سرمایه گذاری را در دو مرحله جدا کرد. در مرحله اول ، دو صندوق متقابل بهینه تشکیل می شود. در دوم ، سرمایه گذاران دارایی خود را بین دو صندوق اختصاص می دهند. علاوه بر این ، دو صندوق به خوبی ساخته شده برای مجموعه ای از گزینه های سرمایه گذاری مطلوب برای همه سرمایه گذاران کافی است.

مطمئناً ، این نتایج بسیار قوی از فرضیات بسیار قوی جریان می یابد. فرض بر این است که سرمایه گذاران در مورد پیش بینی های احتمالی (میانگین دارایی ، انحراف استاندارد و همبستگی) توافق دارند و میانگین و واریانس نمونه کارها را به عنوان آمار کافی برای انتخاب پرتفوی در نظر می گیرند. علاوه بر این ، موقعیت های کوتاه فرض می شود که مانند سایر معاملات امکان پذیر و بی هزینه باشد. بعداً اثرات رها کردن یک یا چند مورد از این فرضیات را در نظر خواهیم گرفت. در این میان ، مناسب است که مکث کنید تا در مورد سادگی و آرامش جهانی که این شرایط در آن نگه داشته می شود ، تأمل کنیم.

محدودیت های برابری خطی اضافی

این یک موضوع نسبتاً ساده برای گسترش تجزیه و تحلیل چند بخش آخر برای پوشش موارد با دو یا چند محدودیت برابری خطی است. مجموعه ای از محدودیت هایی مانند:

ضرب های LaGrange

برای تدوین این مشکل ، بنابراین می توان آن را به طور مؤثر حل کرد ، ما باید به صراحت از یک روش ریاضی که قبلاً به طور ضمنی استفاده کرده ایم استفاده کنیم: روش ضرب LaGrange.

هدف این است که به حداکثر رساندن ابزار نمونه کارها ، که در شرایط معادل بازده مورد انتظار بیان شده است:

مانند گذشته ، ما به جای آن تصمیم می گیریم تا ابزاری را که در شرایط معادل واریانس بیان شده است به حداکثر برسانیم زیرا نمونه کارها بهینه یکسان خواهد بود. در این متریک ، عملکرد هدف:

البته ، ما آزاد نیستیم که هر دارایی را که ممکن است بخواهیم انتخاب کنیم. در عوض ، ما باید یک یا چند محدودیت برابری خطی را برآورده کنیم:

برای اینکه یک راه حل امکان پذیر باشد (یعنی این محدودیت ها را برآورده کنید) ، ما به آن نیاز داریم:

حالا ترفند. ما با افزودن هر بار محدودیت خطی ، یک ضرب Lagrange را یک ضرب Lagrange مرتبط با عملکرد هدف اصلی تشکیل می دهیم. با دو محدودیت خطی:

برای اوراق بهادار که دو محدودیت خطی را برآورده می کنند ، هر یک از اصطلاحات موجود در براکت های مربع با صفر برابر خواهند بود و عملکرد Lagrangean L با عملکرد هدف اصلی برابر خواهد بود! بنابراین به حداکثر رساندن L پاسخ همان حداکثر رساندن عملکرد هدف اصلی را می دهد ، تا زمانی که فقط پرتفوی های امکان پذیر در نظر گرفته شوند.

از آنجا که ما می خواهیم L را به حداکثر برسانیم ، هدف این است که به بالای تپه ای برسیم که در آن ارتفاع توسط مقدار L داده می شود و مختصات زمین توسط مقادیر متغیرها داده می شود (مقادیر X به علاوه G1 ، G2و هر چند برابر اضافی Lagrange. از آنجا که زمین صاف است ، در بالای این تپه خاص صاف است. علاوه بر این ، قسمت بالای آن تنها مکانی است که در آن مسطح است. بنابراین برای یک راه حل بهینه لازم و کافی استمشتقات اول L با توجه به هر یک از متغیرها روی صفر تنظیم می شوند. توجه داشته باشید که اکنون متغیرهای N+M وجود دارد - دارایی N دارایی (در اینجا ، x1 ، x2 و x3) و ضرب های m lagrange (در اینجا، G1 و G2) مشتقات با توجه به دارایی های دارایی عبارتند از:

تنظیم این صفر و تنظیم مجدد معادلات را می دهد:

مشتقات با توجه به ضرب های Lagrange عبارتند از:

تنظیم این صفر معادلات اصلی محدودیت را می دهد:

اکنون پنج معادله خطی در پنج ناشناخته داریم. آنها ممکن است به طور خلاصه (و تا حدودی آشنا) نوشته شوند:

توجه داشته باشید که مثال قبلی ما یک مورد خاص از این فرمول را نشان می دهد ، با M = 1 و هر یک از ضرایب در A و B برابر با 1. 0.

تفسیر اقتصادی چند برابر Lagrange

فرم عملکرد لاگرین را که هنگام به دست آوردن محلول به حداکثر رسیده است ، به یاد بیاورید:

مشتق این عملکرد را نسبت به مثلاً ، ب (1) در نظر بگیرید. خواهد بود:

از آنجا که عملکرد Lagrangean با عملکرد هدف اصلی برای همه اوراق بهادار امکان پذیر برابر خواهد بود ، ما می توانیم این مشتق را به عنوان تغییر در ابزار در هر واحد تغییر در سمت راست شماره محدودیت تعبیر کنیم. البته ، عملکرد هدف در واریانس یکسان استمقررات. برای بیان مشتق در شرایط معادل بازده استاندارد (بالا) باید با RT تقسیم شویم. بدین ترتیب:

و به طور مشابه برای هرگونه محدودیت اضافی.

در مورد محدودیت استاندارد سرمایه گذاری کامل ، ضرب Lagrangean نشان دهنده ابزار حاشیه ای در واریانس معادل پول اضافی برای سرمایه گذاری است (به عنوان مثال ، اجازه می دهد مبلغ دارایی به جای 1. 0000 برابر با 1. 0001 برابر باشد). تقسیم بر تحمل ریسک سرمایه گذار ، سودمندی از بودجه اضافی را در شرایط معادل بازده مورد انتظار می گذارد. دومی ، در واقع ، ابزار حاشیه ای از نمونه کارها (MUP) است. به همین ترتیب ، ضرب Lagrangean Rt این است. همه اینها توضیح می دهد که چرا ما چند برابر نام TMUP و نتیجه به دست آمده را با تقسیم آن توسط RT نام MUP در مثال قبلی خود اختصاص داده ایم.

نتیجه کاملاً کلی است. هر ضرب Lagrangean نشان دهنده ابزار حاشیه ای در شرایط معادل واریانس یک تغییر کوچک در سمت راست محدودیت مربوطه است. در مورد عملکرد نمونه کارها ، ضرب می تواند ابزار اضافه شده در واحد تغییر در عملکرد مورد نیاز را نشان دهد. برای بیان این موضوع در شرایط معادل بازده مورد انتظار ، Lagrangean با تحمل ریسک سرمایه گذار تقسیم می شود.

ضربهای لاگرانژین اغلب برای ارزیابی میزان محدودیت معین ، دستیابی به یک هدف کلی را محدود می کند. هرچه ضرب بیشتر باشد (با فرض اینکه مثبت باشد) ، محدودیت هزینه بیشتری خواهد داشت. البته مقادیر فقط برای تغییرات کوچک اعمال می شوند ، زیرا عملکرد هدف درجه دوم است ، اما آنها برای ارزیابی مطلوبیت حداقل تغییرات کوچک در محدودیت های مختلف مفید هستند.

دارایی های بهینه نمونه کارها با محدودیت اضافه شده

سرانجام ، ما آماده هستیم تا مسئله ایجاد شده با محدودیت عملکرد نمونه کارها را حل کنیم. با استفاده از فرمول های به دست آمده در بالا ، ما به دست می آوریم:

برای دیدن تأثیر در ابزار نمونه کارها (UP) یک تغییر کوچک در محدودیت عملکرد ، ما ضرب مربوطه را با تحمل ریسک برای به دست آوردن MUY تقسیم می کنیم ، ابزار حاشیه ای محدودیت عملکرد:

نیاز به بازده بالاتر باعث می شود تا یک ابزار بهینه بیشتر نمونه کارها بیشتر باشد ، زیرا این مقدار مثبت است (اگر منفی باشد ، نیاز به بازده بالاتر باعث کاهش ابزار بهینه نمونه کارها می شود). توجه داشته باشید ، با این حال ، این مقدار بزرگ نیست - ابزار بهینه نمونه کارها با نرخ 0. 0250 (2. 5 امتیاز پایه در شرایط بازده مورد انتظار) در هر واحد تغییر (100 امتیاز پایه) در عملکرد افزایش می یابد. البته این یک تغییر برای تفاوت اندک در عملکرد مورد نیاز است. برای یافتن تأثیر یک تغییر قابل توجه (به عنوان مثال از 5. 50 ٪ تا 6. 50 ٪) بهینه سازی باید با هر دو مقدار و تفاوت در ابزار بهینه محاسبه شده به طور مستقیم انجام شود.

اهداف خطی اضافی

قبل از نتیجه گیری از بررسی مواردی که در آن هیچ محدودیتی برای منابع وجود ندارد ، ما با یک عارضه احتمالی بیشتر رفتار می کنیم که پیامدهای مهمی برای ساخت نمونه کارها و درک عملکردهای احتمالی بازارهای سرمایه دارد. به طور خاص ، ما یک سرمایه گذار را در نظر می گیریم که عملکرد ابزار آن دارای سه یا چند استدلال است - یکی درجه دوم و سایرین خطی در متغیرهای تصمیم گیری. برای نشان دادن ما از نمونه ای استفاده می کنیم که در آن یک سرمایه گذار به دلیل برخورد مالیاتی نامطلوب آن نسبت به سود سرمایه ، از عدم تحرک با عملکرد درآمد ارتباط دارد. اجازه می دهد YP عملکرد نمونه کارها باشد ، اکنون ابزار:

جایی که uy (ابزار از عملکرد) ثابت است که نشانگر نگرش سرمایه گذار نسبت به عملکرد است. برای مشخصات ما یک مقدار منفی برابر ب ا-0. 2 برای UY فرض می کنیم. بنابراین یک دلار دریافت شده به شکل درآمد (بازده) 80 ٪ (1-0. 2) به اندازه یک دلار دریافت شده در قالب سود سرمایه خواهد بود.

با اتمام نامه های واضح ، ما به Q اجازه می دهیم بردار بازده دارایی را نشان دهد. در مثال ما:

مانند گذشته ، ما می توانیم با ضرب همه Tes توسط RT ، عملکرد ابزار را به اصطلاحات معادل واریانس تبدیل کنیم ، دادن:

به عنوان مثال ما با سه دارایی و دو محدودیت ، مشتق عملکرد Lagrangean برای دارایی I می شود:

تنظیم این روی صفر و تنظیم مجدد:

قرار دادن این معادلات N با معادلات M برای مشتقات گرفته شده با توجه به ضرب های لاگرین مرتبط با محدودیت ها ، سیستم معادلات خطی (n+m) فرم را می دهد:

جایی که D ، Y و F مانند گذشته تعریف شده اند و

یک بار دیگر ، نمونه کارها بهینه را می توان به سادگی با ضرب هر اصطلاح توسط معکوس d تعیین کرد. بنابراین:

توجه داشته باشید که دو اصطلاح اول در سمت راست از تجسم قبلی بدون تغییر است. بنابراین ممکن است بنویسیم:

بردار جدید Zy است. واضح است که این یک تعویض یا استراتژی سرمایه گذاری صفر است. یک سرمایه گذار که نه ابزار (UY مثبت) و نه عدم تمایل (uy منفی) از بازده به دست می آورد ، در این مبادله بی علاقه نخواهد بود. یک سرمایه گذار با اولویت برای بازده ، مایل است موقعیت های طولانی را در آن به دست آورد ، در حالی که یک سرمایه گذار که عملکرد آن را ارائه می دهد ، می خواهد مواضع کوتاهی را در آن بگیرد.

جدایی صندوق

در مثال فعلی ، دارایی های بهینه در دو متغیر خطی هستند - RT و (Uy*RT). برای ساده نگه داشتن نماد ، بگذارید:

اکنون فرض کنید که سه صندوق متقابل (A ، B و C) تشکیل شده اند. صندوق A دارای نمونه کارها است که برای یک سرمایه گذار با تحمل ریسک RTA و ارزش UR برابر با URA بهینه است. صندوق B دارای نمونه کارها است که برای یک سرمایه گذار با ترجیحات ارائه شده توسط RTB و URB بهینه است و صندوق C دارای یک نمونه کارها برای یک سرمایه گذار با ترجیحات RTC و URC است. بدین ترتیب:

یک سرمایه گذار را در نظر بگیرید که نسبت های XA ، XB و XC از ثروت خود را در سه صندوق متقابل قرار می دهد ، با:

نمونه کارها حاصل خواهد شد:

هدف این است که اولین بیان براکت برابر با تحمل ریسک سرمایه گذار (RT) و دوم برابر با ارزش UR خود در حالی که مبلغ اختصاص داده شده به وجوه برابر با 1 را حفظ می کند. این یک سیستم سه استمعادلات خطی در سه ناشناخته (XA ، XB و XC):

مانع انحطاط به دلیل عدم اختلاف در بین صندوق های متقابل ، می توان آن را به راحتی حل کرد و ترکیب مناسب وجوه متقابل را برای سرمایه گذار برای دستیابی به اهداف خود فراهم کرد.

بنابراین ما نشان داده ایم که در این تنظیم ، سه صندوق متقابل می توانند گزینه های کافی را برای دستیابی به پرتفوی بهینه در اختیار سرمایه گذاران قرار دهند. هر صندوق متقابل باید برای ترکیب خاصی از RT و UY بهینه باشد و سه صندوق باید برای سرمایه گذاران با درجات مختلف RT و UR طراحی شود. بنابراین سه صندوق (متفاوت) کافی است که در هنگام وجود سه استدلال در توابع ابزار سرمایه گذار (واریانس به علاوه 2 اصطلاح خطی) ، فضای پرتفوی بهینه را دور کند. بررسی روشهای مورد استفاده برای به دست آوردن این نتیجه (و قضیه دو صندوق قبلی) نشان می دهد که تعمیم طبیعی این نتیجه در واقع صحیح است :. اگر استدلال های احتمالی در توابع ابزار سرمایه گذار (واریانس به علاوه شرایط خطی A-1) وجود داشته باشد ، وجوه متفاوتی برای دور شدن فضای پرتفوی بهینه کافی است. این ممکن است قضیه جدایی A-Fund نامیده شود.

دنیایی که در آن سرمایه گذاران بیش از آنچه که مورد انتظار و ریسک مورد انتظار قرار می گیرد ، به محصولات سرمایه گذاری بیشتر و مراقبت بیشتری در هنگام انتخاب ترکیبی از صندوق های متقابل برای یک سرمایه گذار خاص نیاز دارد. اما بزرگی وظیفه سرمایه گذار هنوز هم اندک است و فقط نیاز به در نظر گرفتن یک صندوق های متقابل (در اینجا ، 3) به جای دارایی N (به عنوان مثال هزاران اوراق بهادار بالقوه) دارد. البته ، این واقعیت های نامطبوع مانند هزینه های معاملات و مرزهای دارایی را بر عهده می گیرد. همچنین فرض می کند که مدیران صندوق های متقابل منتخب کارهای خود را به درستی انجام می دهند (یعنی ساخت اوراق بهادار بهینه) و سرمایه گذاران یا مشاوران آنها ترجیحاتی را می دانند که هر صندوق متقابل بهینه است. تا آنجا که دنیای واقعی در یک یا چند مورد از این جبهه ها کوتاه می آید ، باید قبل از ارائه مشاوره سرمایه گذاری عملی ، تنظیمات انجام شود.< SPAN> دنیایی که سرمایه گذاران بیش از حد انتظار می رود و در هنگام انتخاب ترکیبی از وجوه متقابل برای یک سرمایه گذار خاص ، نیاز به محصولات سرمایه گذاری بیشتر و مراقبت بیشتر دارد. اما بزرگی وظیفه سرمایه گذار هنوز هم اندک است و فقط نیاز به در نظر گرفتن یک صندوق های متقابل (در اینجا ، 3) به جای دارایی N (به عنوان مثال هزاران اوراق بهادار بالقوه) دارد. البته ، این واقعیت های نامطبوع مانند هزینه های معاملات و مرزهای دارایی را بر عهده می گیرد. همچنین فرض می کند که مدیران صندوق های متقابل منتخب کارهای خود را به درستی انجام می دهند (یعنی ساخت اوراق بهادار بهینه) و سرمایه گذاران یا مشاوران آنها ترجیحاتی را می دانند که هر صندوق متقابل بهینه است. تا آنجا که دنیای واقعی در یک یا چند مورد از این جبهه ها کوتاه می آید ، قبل از ارائه مشاوره عملی باید تنظیماتی انجام شود. دنیایی که سرمایه گذاران بیش از حد انتظار می رود و ریسک مورد انتظار بیشتر به محصولات سرمایه گذاری و مراقبت بیشتری نیاز دارد. انتخاب ترکیبی از وجوه متقابل برای یک سرمایه گذار خاص. اما بزرگی وظیفه سرمایه گذار هنوز هم اندک است و فقط نیاز به در نظر گرفتن یک صندوق های متقابل (در اینجا ، 3) به جای دارایی N (به عنوان مثال هزاران اوراق بهادار بالقوه) دارد. البته ، این واقعیت های نامطبوع مانند هزینه های معاملات و مرزهای دارایی را بر عهده می گیرد. همچنین فرض می کند که مدیران صندوق های متقابل منتخب کارهای خود را به درستی انجام می دهند (یعنی ساخت اوراق بهادار بهینه) و سرمایه گذاران یا مشاوران آنها ترجیحاتی را می دانند که هر صندوق متقابل بهینه است. تا آنجا که دنیای واقعی در یک یا چند مورد از این جبهه ها کوتاه می آید ، باید قبل از ارائه مشاوره سرمایه گذاری عملی ، تنظیمات انجام شود.